高中數(shù)學50個解題小技巧

1 . 適用條件

[直線過焦點]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A為直線與焦點所在軸夾角，是銳角。x為分離比，必須大于1。

注：上述公式適合一切圓錐曲線。如果焦點內分(指的是焦點在所截線段上)，用該公式;如果外分(焦點在所截線段延長線上)，右邊為(x+1)/(x-1)，其他不變。

2 . 函數(shù)的周期性問題(記憶三個)

(1)若f(x)=-f(x+k)，則T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不為0)，則T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，則T=6k。

注意點：a.周期函數(shù)，周期必無限b.周期函數(shù)未必存在最小周期，如：常數(shù)函數(shù)。c.周期函數(shù)加周期函數(shù)未必是周期函數(shù)，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函數(shù)。

3 . 關于對稱問題(無數(shù)人搞不懂的問題)總結如下

(1)若在R上(下同)滿足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，對稱軸為x=(a+b)/2(2)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關于x=(b-a)/2對稱;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，則f(x)圖像關于(a，b)中心對稱

4 . 函數(shù)奇偶性

(1)對于屬于R上的奇函數(shù)有f(0)=0;(2)對于含參函數(shù)，奇函數(shù)沒有偶次方項，偶函數(shù)沒有奇次方項(3)奇偶性作用不大，一般用于選擇填空

5 . 數(shù)列爆強定律

(1)等差數(shù)列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7為下角標);(2)等差數(shù)列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比數(shù)列中，上述2中各項在公比不為負一時成等比，在q=-1時，未必成立(4)等比數(shù)列爆強公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q

6 . 數(shù)列的終極利器，特征根方程

首先介紹公式：對于an+1=pan+q(n+1為下角標，n為下角標)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，則數(shù)列通項公式為an=(a1-x)p²(n-1)+x，這是一階特征根方程的運用。

二階有點麻煩，且不常用。所以不贅述。希望同學們牢記上述公式。當然這種類型的數(shù)列可以構造(兩邊同時加數(shù))

7 . 函數(shù)詳解補充

1、復合函數(shù)奇偶性：內偶則偶，內奇同外2、復合函數(shù)單調性：同增異減3、重點知識關于三次函數(shù)：恐怕沒有多少人知道三次函數(shù)曲線其實是中心對稱圖形。

它有一個對稱中心，求法為二階導后導數(shù)為0，根x即為中心橫坐標，縱坐標可以用x帶入原函數(shù)界定。另外，必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切。

8 . 常用數(shù)列bn=n×(2²n)求和Sn=(n-1)×(2²(n+1))+2

前面減去一個1，后面加一個，再整體加一個2

9 . 適用于標準方程(焦點在x軸)爆強公式

k橢=-{(b²)xo｝/{(a²)yo｝k雙={(b²)xo｝/{(a²)yo｝k拋=p/yo

注：(xo，yo)均為直線過圓錐曲線所截段的中點。

10 . 強烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技

已知直線L1：a1x+b1y+c1=0直線L2：a2x+b2y+c2=0若它們垂直：(充要條件)a1a2+b1b2=0;若它們平行：(充要條件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[這個條件為了防止兩直線重合)

注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直接必殺!

11 . 經(jīng)典中的經(jīng)典

相信鄰項相消大家都知道。下面看隔項相消：對于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]

注：隔項相加保留四項，即首兩項，尾兩項。自己把式子寫在草稿紙上，那樣看起來會很清爽以及整潔!

12 . 爆強△面積公式

S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m，n)，向量BC=(p，q)

注：這個公式可以解決已知三角形三點坐標求面積的問題

13 . 你知道嗎?空間立體幾何中：以下命題均錯

(1)空間中不同三點確定一個平面(2)垂直同一直線的兩直線平行(3)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形(4)如果一條直線與平面內無數(shù)條直線垂直，則直線垂直平面(5)有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱(6)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐

注：對初中生不適用。

14 . 一個小知識點

所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。

15 . 求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n為正整數(shù))的最小值

答案為：當n為奇數(shù)，最小值為(n²-1)/4，在x=(n+1)/2時取到;

當n為偶數(shù)時，最小值為n²/4，在x=n/2或n/2+1時取到。

16 . √〔(a²+b²)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b為正數(shù)，是統(tǒng)一定義域)

17 . 橢圓中焦點三角形面積公式

S=b²tan(A/2)在雙曲線中：S=b²/tan(A/2)

說明：適用于焦點在x軸，且標準的圓錐曲線。A為兩焦半徑夾角。

18 . 爆強定理

空間向量三公式解決所有題目：cosA=|{向量a.向量b｝/[向量a的模×向量b的模](1)A為線線夾角(2)A為線面夾角(但是公式中cos換成sin)(3)A為面面夾角注：以上角范圍均為[0，派/2]。

19 . 爆強公式

1²+2²+3²+…+n²=1/6(n)(n+1)(2n+1);1²3+2²3+3²3+…+n²3=1/4(n²)(n+1)²

20 . 爆強切線方程記憶方法

寫成對稱形式，換一個x，換一個y

舉例說明：對于y²=2px可以寫成y×y=px+px再把(xo，yo)帶入其中一個得：y×yo=pxo+px

21 . 爆強定理

(a+b+c)²n的展開式[合并之后]的項數(shù)為：Cn+22，n+2在下，2在上

22 . 轉化思想

切線長l=√(d²-r²)d表示圓外一點到圓心得距離，r為圓半徑，而d最小為圓心到直線的距離。

23 . 對于y²=2px

過焦點的互相垂直的兩弦AB、CD，它們的和最小為8p。爆強定理的證明：對于y²=2px，設過焦點的弦傾斜角為A那么弦長可表示為2p/〔(sinA)²〕，所以與之垂直的弦長為2p/[(cosA)²]所以求和再據(jù)三角知識可知。(題目的意思就是弦AB過焦點，CD過焦點，且AB垂直于CD)

24 . 關于一個重要絕對值不等式的介紹爆強

∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣

25 . 關于解決證明含ln的不等式的一種思路

舉例說明：證明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)

把左邊看成是1/n求和，右邊看成是Sn。

解：令an=1/n，令Sn=ln(n+1)，則bn=ln(n+1)-lnn，那么只需證an>bn即可，根據(jù)定積分知識畫出y=1/x的圖。an=1×1/n=矩形面積>曲線下面積=bn。當然前面要證明1>ln2。

注：僅供有能力的童鞋參考!!另外對于這種方法可以推廣，就是把左邊、右邊看成是數(shù)列求和，證面積大小即可。說明：前提是含ln。

26 . 爆強簡潔公式

向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的數(shù)量積〕/[向量b的模]。記憶方法：在哪投影除以哪個的模

27 . 說明一個易錯點

若f(x+a)[a任意]為奇函數(shù)，那么得到的結論是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右邊不是-f(-x-a)〕同理如果f(x+a)為偶函數(shù)，可得f(x+a)=f(-x+a) 牢記

28 . 離心率爆強公式

e=sinA/(sinM+sinN)

注：P為橢圓上一點，其中A為角F1PF2，兩腰角為M，N

29 . 橢圓的參數(shù)方程也是一個很好的東西，它可以解決一些最值問題。

比如x²/4+y²=1求z=x+y的最值。解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍!

30 . 僅供有能力的童鞋參考的爆強公式

和差化積sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

積化和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

31 . 爆強定理

直觀圖的面積是原圖的√2/4倍。

32 . 三角形垂心爆強定理

(1)向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O為三角形外心，H為垂心)

(2)若三角形的三個頂點都在函數(shù)y=1/x的圖象上，則它的垂心也在這個函數(shù)圖象上。

33 . 維維安尼定理(不是很重要(僅供娛樂))

正三角形內(或邊界上)任一點到三邊的距離之和為定值，這定值等于該三角形的高。

34 . 爆強思路

如果出現(xiàn)兩根之積x1x2=m，兩根之和x1+x2=n

我們應當形成一種思路，那就是返回去構造一個二次函數(shù)再利用△大于等于0，可以得到m、n范圍。

35 . 常用結論

過(2p，0)的直線交拋物線y²=2px于A、B兩點。

O為原點，連接AO.BO。必有角AOB=90度

36 . 爆強公式

ln(x+1)≤x(x>-1)該式能有效解決不等式的證明問題。

舉例說明：ln(1/(2²)+1)+ln(1/(3²)+1)+…+ln(1/(n²)+1)<1(n≥2)證明如下：令x=1/(n²)，根據(jù)ln(x+1)≤x有左右累和右邊再放縮得：左和<1-1/n<1證畢!

37 . 函數(shù)y=(sinx)/x是偶函數(shù)

在(0，派)上它單調遞減，(-派，0)上單調遞增。

利用上述性質可以比較大小。

38 . 函數(shù)

y=(lnx)/x在(0，e)上單調遞增，在(e，+無窮)上單調遞減。

另外y=x²(1/x)與該函數(shù)的單調性一致。

39 . 幾個數(shù)學易錯點

(1)f`(x)<0是函數(shù)在定義域內單調遞減的充分不必要條件(2)研究函數(shù)奇偶性時，忽略最開始的也是最重要的一步：考慮定義域是否關于原點對稱(3)不等式的運用過程中，千萬要考慮"="號是否取到(4)研究數(shù)列問題不考慮分項，就是說有時第一項并不符合通項公式，所以應當極度注意：數(shù)列問題一定要考慮是否需要分項!

40 . 提高計算能力五步曲

(1)扔掉計算器(2)仔細審題(提倡看題慢，解題快)，要知道沒有看清楚題目，你算多少都沒用(3)熟記常用數(shù)據(jù)，掌握一些速算技(4)加強心算、估算能力(5)檢驗

41 . 一個美妙的公式

已知三角形中AB=a，AC=b，O為三角形的外心，則向量AO×向量BC(即數(shù)量積)=(1/2)[b²-a²]證明：過O作BC垂線，轉化到已知邊上

42 . 函數(shù)

①函數(shù)單調性的含義：大多數(shù)同學都知道若函數(shù)在區(qū)間D上單調，則函數(shù)值隨著自變量的增大(減小)而增大(減小)，但有些意思可能有些人還不是很清楚，若函數(shù)在D上單調，則函數(shù)必連續(xù)(分段函數(shù)另當別論)這也說明了為什么不能說y=tanx在定義域內單調遞增，因為它的圖像被無窮多條漸近線擋住，換而言之，不連續(xù).還有，如果函數(shù)在D上單調，則函數(shù)在D上y與x一一對應.這個可以用來解一些方程.至于例子不舉了

②函數(shù)周期性：這里主要總結一些函數(shù)方程式所要表達的周期設f(x)為R上的函數(shù)，對任意x∈R(1)f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加絕對值，下同)(2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a(4)設T≠0，有f(x+T)=M[f(x)]其中M(x)滿足M[M(x)]=x,且M(x)≠x則函數(shù)的周期為2

43 . 奇偶函數(shù)概念的推廣

(1)對于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a，使得f(a-x)=f(a+x)，則稱f(x)為廣義(Ⅰ)型偶函數(shù)，且當有兩個相異實數(shù)a，b滿足時，f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a)

(2)若f(a-x)=-f(a+x)，則f(x)是廣義(Ⅰ)型奇函數(shù)，當有兩個相異實數(shù)a，b滿足時，f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a)

(3)有兩個實數(shù)a，b滿足廣義奇偶函數(shù)的方程式時，就稱f(x)是廣義(Ⅱ)型的奇，偶函數(shù).且若f(x)是廣義(Ⅱ)型偶函數(shù)，那么當f在[a+b/2，∞)上為增函數(shù)時，有f(x1)

44 . 函數(shù)對稱性

(1)若f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c則函數(shù)關于(a+b/2，c/2)成中心對稱(2)若f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)則函數(shù)關于直線x=a+b/2成軸對稱

柯西函數(shù)方程：若f(x)連續(xù)或單調(1)若f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),則f(x)=㏒ax(2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),則f(x)=x²u(u由初值給出)(3)f(x+y)=f(x)f(y)則f(x)=a²x(4)若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,則f(x)=ax2+bx(5)若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),則f(x)=ax+b特別的若f(x)+f(y)=f(x+y)，則f(x)=kx

45 . 與三角形有關的定理或結論中學數(shù)學平面幾何最基本的圖形就是三角形

①正切定理(我自己取的，因為不知道名字)：在非Rt△中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC②任意三角形射影定理(又稱第一余弦定理)：在△ABC中，a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA③任意三角形內切圓半徑r=2S/a+b+c(S為面積)，外接圓半徑應該都知道了吧④梅涅勞斯定理：設A1,B1，C1分別是△ABC三邊BC，CA，AB所在直線的上的點，則A1，B1，C1共線的充要條件是CB1/B1A·BA1/A1C·AC1/C1B=1

46 . 易錯點

(5)數(shù)列求和中，常常使用的錯位相減總是粗心算錯規(guī)避方法：在寫第二步時，提出公差，括號內等比數(shù)列求和，最后除掉系數(shù);(6)數(shù)列中常用變形公式不清楚，如：an=1/[n(n+2)]的求和保留四項

47 . 易錯點

(7)數(shù)列未考慮a1是否符合根據(jù)sn-sn-1求得的通項公式;(8)數(shù)列并不是簡單的全體實數(shù)函數(shù)，即注意求導研究數(shù)列的最值問題過程中是否取到問題

48 . 易錯點

(9)向量的運算不完全等價于代數(shù)運算;(10)在求向量的模運算過程中平方之后，忘記開方。比如這種選擇題中常常出現(xiàn)2，√2的答案…，基本就是選√2，選2的就是因為沒有開方;(11)復數(shù)的幾何意義不清晰

49 . 關于輔助角公式

asint+bcost=[√(a²+b²)]sin(t+m)其中tanm=b/a[條件：a>0]說明：一些的同學習慣去考慮sinm或者cosm來確定m，個人覺得這樣太容易出錯最好的方法是根據(jù)tanm確定m.(見上)。舉例說明：sinx+√3cosx=2sin(x+m)，因為tanm=√3，所以m=60度，所以原式=2sin(x+60度)

50 . A、B為橢圓x²/a²+y²/b²=1上任意兩點。若OA垂直O(jiān)B，則有1/∣OA∣²+1/∣OB∣²=1/a²+1/b²

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