方法指導(dǎo)：如何突破數(shù)學(xué)命題難點(diǎn)

　　一、 定位整體

　　新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“常用邏輯用語(yǔ)”的定位為:“正確使用邏輯用語(yǔ)是現(xiàn)代社會(huì)公民應(yīng)該具備的基本素質(zhì)，無(wú)論是進(jìn)行思考、交流，還是從事各項(xiàng)工作，都需要正確的運(yùn)用邏輯用語(yǔ)表達(dá)自己的思想.在本模塊中，同學(xué)們將在義務(wù)教育的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)常用邏輯用語(yǔ)，體會(huì)邏輯用語(yǔ)在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語(yǔ)準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，更好地進(jìn)行交流.” 因此，學(xué)習(xí)邏輯用語(yǔ)，不僅要了解數(shù)理邏輯的有關(guān)知識(shí)，還要體會(huì)邏輯用語(yǔ)在表述或論證中的作用，使以后的論證和表述更加準(zhǔn)確、清晰和簡(jiǎn)潔.

　　二、 明確重點(diǎn)

　　“常用邏輯用語(yǔ)”分成三大節(jié)，分別為：命題及其關(guān)系，簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞，全稱(chēng)量詞與存在量詞.

　　“命題及其關(guān)系”分兩小節(jié)：一、“四種命題”，此節(jié)重點(diǎn)在于四種命題形式及其關(guān)系，互為逆否命題的等價(jià)性；二、“充分條件和必要條件”，此節(jié)重點(diǎn)在于充分條件、必要條件、充要條件的準(zhǔn)確理解以及正確判斷.

　　“簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞”重點(diǎn)在于“且”、 “或”、 “非”這三個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞的理解和應(yīng)用.

　　“全稱(chēng)量詞與存在量詞”重點(diǎn)在于理解全稱(chēng)量詞與存在量詞的意義，以及正確做出含有一個(gè)量詞的命題的否定.

　　三、 突破難點(diǎn)

　　1. “四種命題”的難點(diǎn)在于分清命題的條件和結(jié)論以及判斷命題的真假

　　例1 分別寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假.

　�。�1） 全等三角形的面積相等；

　�。�2） m＞時(shí)，方程mx2-x+1=0無(wú)實(shí)根；

　�。�3） 若sinα≠，則α≠30°.

　　解析 （1） 條件為兩個(gè)三角形全等，結(jié)論為它們的面積相等.因此，原命題即為“若兩個(gè)三角形全等，則它們的面積相等”，逆命題為“若兩個(gè)三角形面積相等，則它們?nèi)��?rdquo;，否命題為“若兩個(gè)三角形不全等，則它們的面積不相等”，逆否命題為“若兩個(gè)三角形面積不相等，則它們不全等”.根據(jù)平面幾何知識(shí)，易得原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題.

　�。�2） 原命題即為“若m＞，則方程mx2-x+1=0無(wú)實(shí)根”，逆命題為“若方程mx2-x+1=0無(wú)實(shí)根，則m＞”，否命題為“若m≤，則方程mx2-x+1=0有實(shí)根”，逆否命題為“若方程mx2-x+1=0有實(shí)根，則m≤”.根據(jù)判別式Δ=1-4m的正負(fù)可知，原命題、逆命題、否命題、逆否命題均為真命題.

　　（3） 原命題即為“若sinα≠，則α≠30°”，逆命題為“若α≠30°，則sinα≠”，否命題為“若sinα=，則α=30°”，逆否命題為“若α=30°，則sinα=”.直接判斷原命題與逆命題真假有些困難，但考慮到原命題與逆否命題等價(jià)，逆命題與否命題等價(jià)，因此可以先考慮逆否命題和否命題；由三角函數(shù)的知識(shí)，可知原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題.

　　突破 對(duì)于判斷命題的真假，我們需要先弄清何為條件、何為結(jié)論，然后根據(jù)相應(yīng)的知識(shí)進(jìn)行判斷，當(dāng)原命題不容易直接判斷時(shí)，可以先判斷其逆否命題的真假性，從而得到原命題的真假性.

　　2. “充分條件和必要條件”的難點(diǎn)在于充要性的判斷

　　例2 在下列命題中，判斷p是q的什么條件.（在“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分又不必要條件”中選出一種）

　�。�1） p:|p|≥2，p∈R；q:方程x2+px+p+3=0有實(shí)根.

　�。�2） p：圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切；q：c2=（a2+b2）r2，其中a2+b2≠0，r≠0.

　�。�3） 設(shè)集合M={x|x＞2}，N={x|x＜3}，p：x∈M∩N；q:x∈M∪N.

　　解析 （1） 當(dāng)|p|≥2時(shí)，例如p=3，此時(shí)方程x2+px+p+3=0無(wú)實(shí)根，因此“若p則q”為假命題；當(dāng)方程x2+px+p+3=0有實(shí)根時(shí)，根據(jù)判別式有p≤-2或p≥6，此時(shí)|p|≥2成立，因此“若q則p”為真命題.故p是q的必要不充分條件.

　�。�2） 若圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切，則圓心（0，0）到直線ax+by+c=0的距離等于r，即r=，化簡(jiǎn)可得c2=（a2+b2）r2，因此“若p則q”為真命題；反過(guò)來(lái)，由c2=（a2+b2）r2，可得r=，即圓心（0，0）到直線ax+by+c=0的距離等于r，由解析幾何知識(shí)得圓與直線相切，因此“若q則p”為真命題.故p是q的充要條件.

　�。�3） M∩N=（2，3），M∪N=R，若x∈（2，3），此時(shí)顯然有x∈R，因此“若p則q”為真命題；反過(guò)來(lái)，若x∈R，例如x=5，此時(shí)x?埸（2，3），因此“若q則p”為假命題.故p是q的充分不必要條件.

　　突破 ①?gòu)倪壿嫷挠^點(diǎn)理解：判斷充分性、必要性的前提是判斷給定命題的真假性，若“若p則q”為真命題，則p是q的充分條件；若“若q則p”為真命題，則p是q的必要條件；若兩者都是真命題，則p是q的充要條件；若兩者都是假命題，則p是q的既不充分也不必要條件.②從集合的觀點(diǎn)理解：建立命題p，q相應(yīng)的集合. p：A={x|p（x）成立}，q：B={x|q（x）成立}.那么:若A?哿B，則p是q的充分條件；若B?哿A，則p是q的必要條件；若A=B，則p是q的充要條件.若A?芫B且B?芫A，則p是q的既不充分也不必要條件.

　　例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q=-1.

　　解析 充分性:當(dāng)q=-1時(shí)，a1=p-1；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=pn-1（p-1）.于是當(dāng)n≥1時(shí)，=p，即數(shù)列{an}為等比數(shù)列.

　　必要性：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=p+q；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1

　　=pn-1（p-1）.因?yàn)閜≠0且p≠1，于是=p.又因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，所以==p，即=p，解之得q=-1.

　　綜上所述，q=-1為數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件.

　　突破 證明p是q的充要條件需要分兩步：①充分性，把p作為已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出q；②必要性，把q作為已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出p.最后綜上所述，可得p是q的充要條件.特別注意:充分條件的意義只在于保證結(jié)論成立，而不管它對(duì)結(jié)論成立是否必要；必要條件的意義只在于要使結(jié)論成立它必不可少，而不管它對(duì)結(jié)論成立是否充分.因此，在進(jìn)行恒等變形或探求充要條件的過(guò)程中，只注意推導(dǎo)過(guò)程的充分性，其結(jié)果有可能縮小范圍；只注意推導(dǎo)過(guò)程的必要性，其結(jié)果有可能擴(kuò)大范圍.

　　3. “簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞”的難點(diǎn)在于復(fù)合命題的真假性判斷以及“命題的否定”與“否命題”的區(qū)分

　　例4 指出下列命題的真假.

　�。�1） -1是奇數(shù)或偶數(shù)；

　�。�2） 屬于集合Q，也屬于集合R；

　　（3） A?埭（A∪B）.

　　解析 （1） 此命題為“p或q”的形式，其中p：-1是奇數(shù)；q：-1是偶數(shù).因?yàn)閜為真命題，所以原命題為真命題.

　　（2） 此命題為“p且q”的形式，其中p：屬于集合Q；q：屬于集合R.因?yàn)橹挥衠為真命題，所以原命題為假命題.

　　（3） 此命題為“非p”的形式，其中p：A?哿（A∪B）.因?yàn)閜為真命題，所以原命題為假命題.

　　突破 判斷如“p或q”、“p且q”、“非p”形式的復(fù)合命題的真假時(shí)，首先要確定命題的構(gòu)成形式，然后判斷其中各簡(jiǎn)單命題的真假，最后再利用真值表判斷復(fù)合命題的真假.

　　例5 寫(xiě)出下列各命題的否定和否命題.

　　（1） 若x+y是偶數(shù)，則x，y都是奇數(shù)；

　　（2） 若xy=0，則x=0或y=0.

　　解析 （1） 命題的否定：若x+y是偶數(shù)，則x，y不都是奇數(shù)；否命題：若x+y不是偶數(shù)，則x，y不都是奇數(shù).

　�。�2） 命題的否定:若xy=0，則x≠0且y≠0；否命題:若xy≠0，則x≠0且y≠0.

　　突破 命題的否定只是否定命題的結(jié)論，而否命題既否定題設(shè)，又否定結(jié)論.需注意“x=0或y=0”的否定是“x≠0且y≠0”而不是“x≠0或y≠0”；“x，y都是奇數(shù)”的否定是“x，y不都是奇數(shù)”而不是“x，y都不是奇數(shù)”.

　　4. “全稱(chēng)量詞與存在量詞”的難點(diǎn)在于全稱(chēng)命題和存在性命題的真假性判斷以及含有一個(gè)量詞的命題的否定

　　例6 判斷下列命題是否為全稱(chēng)命題或存在性命題，并判斷真假.

　　（1） 有一個(gè)實(shí)數(shù)α，tanα無(wú)意義；

　�。�2） 任何一條直線都有斜率；

　�。�3） ?堝x＜0，使x2+x+5＜0；

　�。�4） 自然數(shù)的平方是正數(shù).

　　解析 （1） 存在性命題，當(dāng)α=時(shí)，tanα無(wú)意義，因此原命題為真命題.

　�。�2） 全稱(chēng)命題，當(dāng)傾斜角為時(shí)，該直線斜率不存在，因此原命題為假命題.

　�。�3） 存在性命題，由判別式可知Δ=1-4×5=-19＜0，所以對(duì)?坌x∈R，x2+x+5＞0，因此原命題為假命題.

　�。�4） 全稱(chēng)命題，存在自然數(shù)0，其平方不是正數(shù)，因此原命題為假命題.

　　突破 ①要判定全稱(chēng)命題“?坌x∈M，p（x）”為真命題，需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x，證明p（x）成立；如果集合M中找到一個(gè)元素x0，使得p（x）不成立，那么這個(gè)全稱(chēng)命題為假命題.②要判定存在性命題“?堝x0∈M，p（x）”為真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使得p（x0）成立即可；如果在集合M中，使p（x）成立的元素x不存在，那么這個(gè)存在性命題是假命題.

　　例7 寫(xiě)出下列命題的否定.

　�。�1） 面積相等的三角形是全等三角形；

　�。�2） 有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)；

　�。�3） 對(duì)?坌x∈R，x2+x+1=0都成立；

　�。�4） ?堝x∈R，x2+2x+5＞0.

　　解析 （1） 原命題是全稱(chēng)命題，故其否定為:存在面積相等的三角形不是全等三角形.

　　（2） 原命題是存在性命題，故其否定為:所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù).

　　（3） 原命題是全稱(chēng)命題，故其否定為:?堝x∈R，使x2+x+1≠0.

　�。�4） 原命題是存在性命題，故其否定為: 對(duì)?坌x∈R，x2+2x+5≤0都成立.

　　突破 全稱(chēng)命題與存在性命題的區(qū)別在于構(gòu)成兩種命題的量詞不同.實(shí)質(zhì)上，“全稱(chēng)量詞”與“存在量詞”正好構(gòu)成了意義相反的表述，因此在書(shū)寫(xiě)全稱(chēng)命題與存在性命題的否定時(shí)，一定要抓住決定命題性質(zhì)的量詞，從對(duì)量詞的否定入手書(shū)寫(xiě)命題的否定.全稱(chēng)命題的否定是存在性命題，而存在性命題的否定是全稱(chēng)命題.

　　1. （2011年安徽理科卷）命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定是______________.

　　2. （ 2011年山東文科卷）已知a，b，c∈R，命題“若a+b+c=3，則a2+b2+c2≥3”的否命題是________.

　　3. （2011年湖南文科卷）“x＞1”是“|x|＞1”的

　　__________條件.

　　4. （2011年福建理科卷）若a∈R，則“a=2”是“（a-1）（a-2）=0”的______________條件.

　　5. （2011年浙江理科卷）“α=”是“cos2α=”的______________條件.

　　6. （2011年山東理科卷）對(duì)于函數(shù)y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)”是“y=f（x）是奇函數(shù)”的____________條件.

　　7. （2011年浙江文科卷）若a，b為實(shí)數(shù)，則“0＜ab＜1”是“b＜”的______________條件.

　　8. （2011年四川文科卷）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若x1，x2∈A且f （x1）=f（x2）時(shí)，總有x1=x2，則稱(chēng)f（x）為單函數(shù).例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù).

　　給出下列命題：① 函數(shù)f（x）=x2（x∈R）是單函數(shù)；② 指數(shù)函數(shù)f（x）=2x（x∈R）是單函數(shù)；③ 若f（x）為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f（x1）≠f（x2）；④ 在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù).其中的真命題是________.（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）

　　1. 存在一個(gè)能被2整除的數(shù)不是偶數(shù). 2. 若a+b+c≠3，則a2+b2+c2＜3. 3. 充分而不必要. 4. 充分而不必要. 5. 充分而不必要. 6. 必要而不充分. 　7. 既不充分也不必要. 8. ②③④.